Arithmétique

La division euclidienne

Si a et b sont deux nombres entiers positifs avec b ≠ 0, alors il existe deux entiers positif q et r tels que :

a = b x q + r

dividende = diviseur x quotient + reste et reste < diviseur

Trouver l’unique couple d’entiers quotient et reste, c'est effectuer la division euclidienne

Exemple :a = 79, b = 9

79 = 9 x 8 + 7 et 7 < 9

Donc q = 8 et r = 7

On souhaite faire la division euclidienne de 229 par 7. Il faut trouver le quotient et le reste.

Il faut poser la division :

En divisant 229 par 7, le quotient est 32 et le reste 5.

Les calculatrices permettent de trouver le quotient et le reste :

Pour faire la division euclidienne de 327 par 12, il faut

La calculatrice affiche alors Q+19;R=9, le quotient (Q) et le reste(R) :

Exemple :

340 : 9 = . . . + . . .715 : 21 = . . . + . . .269 : 11 = . . . + . . .

Multiples et diviseurs

Lorsque le reste de la division euclidienne de a par b (avec b ≠ 0 ) est nul, on dit que :

Exemple : 325 = 13 x 25 + 0

Critères de divisibilité

Nombres premiers

Définition

Un nombre premier est un nombre entier positif qui n’admet que deux diviseurs : 1 et lui-même.

Exemples

Le nombre 11 n’a pas d’autre diviseurs que 1 et 11.

Le nombre 12 admet six diviseurs : 1, 2, 3, 4, 6 et 12.

Le nombre 1 n’a qu’un seul diviseur, lui-même, il n'est donc pas premier.

Je retiens

Il existe une infinité de nombres premiers.

Les 10 premiers nombres premiers sont : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29

Décomposition en produit de facteurs premiers

Tous les nombres peuvent s’écrire sous la forme d’un produit de nombres premiers : c'est la décomposition en produits de facteurs premiers.

Chaque nombre n’a qu'une seule décomposition en produit de facteurs premiers (si on ne tient pas compte de l’ordre des facteurs).

Exemple

504 = 2 x 2 x 2 x 3 x 7 = 23 x 32 x 7


Exercice

Décomposer les nombres suivant en produit de facteurs premiers : 350 ; 95 ; 195 ; 693.

Fraction irréductible

La décomposition en produit de facteur premiers permet de rendre les fractions irréductibles.

Pour cela, il suffit de diviser numérateur et dénominateur par les mêmes nombres premiers.

La fraction ab est irréductible si le seul diviseur commun à a et b est 1.

Exemple

La fraction 6335 n’est pas irréductible car on peut diviser 63 et 35 par 7 : 6335 = 7 x 97 x 5 = 95

La fraction 3227 est irréductible car le seul diviseur commun à 32 ou 27 est 1.

Exercice

Rendre ces frations irréductibles :22121 ; 1056924 ; 180135 .

Crible d’Ératosthène (-276, -194) 1

Recopier la grille ci-jointe

12345678910
11121314151617181920
21222324252627282930
31323334353637383940
41424344454647484950
51525354555657585960
61626364656667686970
71727374757677787980
81828384858687888990
919293949596979899100

Remplir les cas comme indiqué :

Comparer ses résultats avec les membres de l'équipe.

Lister tous les nombres premiers jusqu'à 100.

Facteurs 2

Trouver les diviseurs premiers de 27, 33, 135 et 256

Trouver tous les diviseurs de 24, 32, 48, 52 et 120

Les crêpes

La grand-mère de Nicolas a fait 31 crêpes. Elle demande à Nicolas de les distribuer à parts égales à chacun de ses cinq cousins présents dans la cuisine. Lorsqu'il ne pourra plus en distribuer, il gardera le reste pour lui. Après réflexion, Nicolas s'empresse d'aller chercher ses trois autres cousins dasn le jardin. Pourquoi ?

Bandes dessinées

Léa possède 1000 BD qu’elle n’a pas encore lues. Elle lit une BD par jour et commence un lundi. Quel jour de la semaine lira-t-elle la dernière BD ?