Prendre son temps

Additionner 3/4h + 1/4h + 1/2h + 1/4h.

Comment arrive-t-on à ce résultat ?

Justifier ce résultat.

Soirée "Pizza"

Mario a fait une soirée. Jean a mangé trois quart de pizza, Pierre et Nadia deux tiers chacun, Azedine trois cinquième, Jessica un deux cinquième et Estelle et Mario une demie chacun. Puis Mario et Pierre ont repris un quart chacun.

Combien a-t-il fallu de pizzas pour cette soirée ?

Les fractions

Définiton

Un nombre rationnel ou fraction est un nombre qui s’écrit sous la forme d’un quotient de deux nombres entiers.

La barre de fraction sépare le numérateur, au dessus, du dénominateur, en dessous :

La valeur du nombre est le quotient du numérateur divisé par le dénominateur.


Le dénominateur est toujours différent de zéro.

Notation

1215   se lit "douze quinzième" ou "douze sur quinze". Certaines fractions n’utilisent pas le therme n-ième au dénominateur n : les demis (n = 2), tiers (n = 3) ou quart (n = 4).

Propriété

Un quotient ne change pas quand on multiplie (ou divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

ab = a x kb x k  avec k ≠ 0

34 = 0,75 et 34 = 3 x 54 x 5 = 1520 = 0,75 donc 34 = 1520


Simplification

Une fraction est simplifiable si son numérateur et son dénominateur peuvent être divisés par le même nombre.

Dans ce cas, on divise numérateur et dénominateur par ce nombre.

  3040 30 et 40 sont tous les deux divisibles par le facteur 10
= 3 x 104 x 10 On met éventuellement en évidence le facteur 10
= 34 On divise par le facteur : la fraction est simplifiée.
Critères de divisibilité

Pour simplifier au mieux les fractions, il faut repérer si numérateur et dénomnateur sont divisible par un même nombre. On peut le repérer facilement dans certain cas. Un nombre est divisible :

Bien connaître ses tables de multiplication permet de simplifier rapidement les fractions

Exemples

A = 1218 = . . . B = 3216 = . . . C = 5632 = . . .


D = 1590 = . . . E = 36012 = . . . F = 6012 = . . .

Comparaison de fractions

Pour comparer deux fractions, on peut les mettre au même dénominateur et comparer les numérateurs.

Pour mettre au même dénominateur, il faut trouver un multiple commun aux dénominateurs. Les fractions devrons avoir ce multiple commun au dénominateur.

74 et 158 Ces fractions n’ont pas le même dénominateur. Il faut trouver le plus petit nombre qui soit multiple des deux dénominateurs 4 et 8.

4 x 2 = 8
On choisit 8 car 4 x 2 = 8
7 x 24 x 2 = 148 On multiplie le numérateur et le dénominateur.
148 et 158 Les fractions sont au même dénominateur
14 < 15 On compare les numérateurs
148 < 158 On peut comparer les fractions au même dénominateur
74 < 158 On peut comparer les fractions.

Exemples

912 et 34 73 et 206

611 et 712 615 et 514 et 310

Somme de fractions

Pour additionner des fractions, elles doivent avoir le même dénominateur.

AC + BC = A + BC

Exemple : 36 + 26 = 3 + 26 = 56

Pour mettre au même dénominateur, il faut trouver un multiple commun aux dénominateurs. Les fractions devrons avoir ce multiple commun au dénominateur.

  56 et 715 Ces fractions n’ont pas le même dénominateur. Il faut trouver le plus petit nombre qui soit multiple des deux dénominateurs 6 et 15.
  6 x 5 = 30
15 x 2 = 30
Ici, ce sera 30 car 6 x 5 = 30 et 15 x 2 = 30.
  5 x 56 x 5 + 7 x 215 x 2 On multiplie les numérateurs et dénominateurs des fractions
= 2530 + 1430 Les fractions sont au même dénominateur mais ont toujours le même quotient.
= 25 + 1430 On additionne les numérateurs
= 3930 Le résultat peut se simplifier
= 3 x 133 x 10 Numérateur et dénominateur sont multiples de 3
= 1310 Le résultat final est une fraction irréductible, on ne peut plus la simplifier

On cherchera à multiplier les numérateurs et dénominateurs par les nombres le plus petit possibles et de manière a avoir les mêmes dénominateurs.

Exemples

A = 812 + 23 = . . . B = 73 + 25 = . . . C = 1235 + 228 =


D = 712 + 45 = . . . E = 32 + 715 + 43 = . . . F = 415 + 514 + 410 = . . .

Produit de fractions

Lorsqu’on multiplie une fraction par un nombre, on multiplie uniquement le numérateur par ce nombre.

A x BC = A x BC

Ex : 3 x 710 = 3 x 710 = 2110

Lorsqu’on multiplie une fraction par une fraction, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

AB x CD = A x CB x D

Ex : 37 x 52 = 3 x 57 x 2 = 1514

Souvent, on peut simplifier avant de multiplier tous les nombres, et éviter de manipuler de trop grands nombres. Pour cela, il faut déceler les facteurs communs de dénominateurs et des numérateurs :

  235 x 776 On constate qu’un numérateur et qu’un dénominateur sont multiples d’un même nombre.
= 2 x 7 x 117 x 5 x 2 x 3 On décompose les numérateurs de dénominateurs
= 2 x 7 x 117 x 5 x 2 x 3 On peut supprimer un nombre qui est numérateur et au dénominateur.
= 115 x 3 Le calcul final est simplifié.
= 1115 On obtient une fraction irréductible

Exemples

A = 1512 x 210 = B = 714 x 215 = . . . C = 1235 x 228 = . . .

D = 812 x 23 = . . . E = 32 x 715 x 43 = . . . F = 415 x 514 x 410 = . . .

Inverse

Définition

Deux nombres sont inverses lorsque leur produit vaut 1.

a x b = 1 donc a et b sont inverses

>Ex : 2 x 0,5 = 1   donc 2 et 0,5 sont inverses.

Propriété

L’inverse d'une fraction revient à « inverser » le dénominateur et le numérateur.

AB x BA = A x BB x A = 1

>Ex : 47 x 74 = 4 x 77 x 4 = 2828 = 1

Prendre son temps

Additionner 3/4h + 1/4h + 1/2h + 1/4h.

Comment arrive-t-on à ce résultat ?

Justifier ce résultat.

Soirée "Pizza"

Mario a fait une soirée. Jean a mangé trois quart de pizza, Pierre et Nadia deux tiers chacun, Azedine trois cinquième, Jessica un deux cinquième et Estelle et Mario une demie chacun. Puis Mario et Pierre ont repris un quart chacun.

Combien a-t-il fallu de pizzas pour cette soirée ?

Entrainement

Sans calculette, écrire les nombres suivant sous forme de fraction simplifiée

Sommes de fractions

A = 6 + 75 = . . .    B = 58 + 512 = . . . C = 53149 = . . .

D = 92 + – 57 + 2= . . .   E = – 2014214 + 3 = . . .     F = 187– 2148 = . . .


Produits de fractions

G = 20 x 75 = . . .   H = – 75 x 153 = . . .     I = – 85 x –1016 = . . .

J = 1420 x 57 = . . .   K = –2206 x –12–20 = . . . L = 120– 13 x –2648 = . . .