Les puissances

Définition

Un nombre relatif a à la puissance n, entier positif, est égal à a multiplié n fois par lui même.

34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81

an se lit “a exposant n” ou “a puissance n

an est appelé puissance n-ième de a

le nombre n est l’exposant

Par convention a0 = 1a1 = a a2 se lit “a au carré”a3 se lit “a au cube”

Calcule la valeur de 23 , de 24 puis de 23 x 24

Maintenant calcule la valeur de 26, 212 et 27

Quelles déductions peut-on en tirer ?

Comment les vérifier ?

Comment décrire ces déductions avec une expression algébrique (avec des lettres) ?

Règle n°1 : somme d’exposants

a et b sont des nombres quelconques, n et m sont des entiers relatifs


an x am = an+m

33 x 34 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 =3 3 + 4 = 3 7

A = 57 x 52 = 5...

B = 73 x 77 = ...

C = 23 x 23 x 23 = ...

A = 57 x 52 = 59

B = 73 x 77 = 10

C = 23 x 23 x 23 = 9

Calcule la valeur de 29 , de 25 puis de 2925

Maintenant calcule la valeur de 23 et 24

Quelles déductions peut-on en tirer ?

Comment les vérifier ?

Comment décrire ces déductions avec une expression algébrique (avec des lettres) ?

Règle n° 2 : différence d’exposants

anam = an-m

5653 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 5 x 5 x 5 = 56-3 = 5 3

A = 3732 = . . .

B = 52 x 5554 = . . .

C = 6862 x 63 = . . .

D = 38 x 3233 x 34 = . . .

E = 47 x 4249 = . . .

F = 52 x 5357 = . . .

Calculer a = 2–3 et b = 23 puis ab

Faire de même avec c = 43 et d = 4–3

Que conclure de l’exercice précédent ?

Par quelle puissance de 2 faut-il multiplier 29 pour obtenir 1 ?

Règle n° 3 : les inverses

Par la règle n°2, on peut obtenir des puissances négatives :



Un nombre avec un exposant négatif est l’inverse du même nombre avec un exposant positif.

L’inverse de an est a-n.

1an = 1an x an . . . x an = a-n   et   an x a-n = anan = 1

L'inverse d’un nombre à une puissance queconque
est ce nombre à la puissance opposé.
a-n est l'inverse de an   et   1an = a-n

Ex : 23 x 2-3 = 8 x 0,125 = 1

Ne pas confondre l’inverse de A qui est 1A ou A-1 avec l’opposé qui est –A.


A = 3732 ; A-1 = . . .

B = 5254 x 53 ; B-1 = . . .

C = 68 6-362 ; C-1 = . . .

D = 37 3-53-6 x 312 ; D-1 = . . .

E = 47 4-249 ; E-1 = . . .

F = 5-2 5357 ; F-1 = . . .

Développer ( sans calculer ) en supprimant tous les exposants puis trouver une puissance simple du nombre :


(23)2 , (33)2 ; et (33)3 ;

Quelles déductions peut-on en tirer ?

Comment les vérifier ?

Comment décrire ces déductions avec une expression algébrique (avec des lettres) ?

Règle n° 4 : Produit d’exposant

Un nombre exposant n, le tout exposant m est égal au nombre exposant n x m.


(an)m = an x m

(32)4 = 38

La formule fonctionne avec les exposants négatifs

A = (32)4 = . . .

B = (42)4 × 43 = . . .

C = (52)4 56 = . . .

D = (43)-2 42 = . . .

E = (22)-22-4 = . . .

F = (4-3)-1 × 4-2 = . . .

G = (23)-12-4 23 = . . .

G = (2-1)22-4 23 (2-3)-1 = . . .

Calcule les valeurs suivantes : 23 × 53 ; 32 × 22 et 23 × 53

Quelles déductions peut-on en tirer ?

Comment les vérifier ?

Comment décrire ces déductions avec une expression algébrique (avec des lettres) ?

Règle n° 5 : nombres à la même puissance

Le produit de deux nombres, chacun à la même puissance est égal à leur produit à cette puissance.

an bn = (a + b)n

2363 = 2 × 2 × 2 × 6 × 6 × 6 = (2 × 6) × (2 × 6) × (2 × 6) = 123

26 × 56 = . . .

72 × 32 = . . .

3-2 × 2-2 = . . .

72 × 42 = . . .

27 × 37 × 57 = . . .

2-1 × 3-1 × 5-1 = . . .

Puissance de 10

Lorsque 10 est à une puissance positive, il y a autant de zéros que le nombre de l’exposant.

Lorsque 10 est à une puissance négative, il y a autant de zéros, y compris celui des unités, que l’opposé du nombre de l’exposant.


En écriture décimale, une puissance de 10 a autant de zéros que le nombre de l'exposant

10-4 = 0,0001

Ecrire les nombres suivants avec 10 et un unique exposant

A = 0,000 000 000 010 = . . .

B = 0,000 001 × 10 000100 000 000 = . . .

C = 10 000 × 10 0000,000 1 = . . .

D = 10-2 × 10 000 000107 = . . .

Ecrire les nombres suivants sous forme décimale

E = 107 × 10-2 = . . .

F = 10-4 × 10-2 × 10 000 = . . .

G = 100 000 × 102 × 10310-6 = . . .

H = 107 × 10-2109 = . . .

Certains scientifiques sont amenés à calculer de grands nombres :
A = 13 423 499 435 288 × 56 992 409 342 34 567 245 388 311 367
Mais parfois, un simple "ordre de grandeur" peut suffire.

Calculer la valeur de A puis en remplaçant les groupes de trois chiffres en partant de la droite par trois zéros puis recommencer cette opération plusieurs fois.

Comparer les résultats obtenus. Selon vous, combient de nombre sont significatifs en fonction des résultat obtenus ?

Comment peut-on "simplifier" ces nombres (même en perdant un peu de leur précision) pour simplifier les calculs et avoir un "ordre de grandeur" ?

Notation scientifique

Les scientifiques doivent souvent écrire de très grands ou de très petits nombres. C'est pourquoi ils utilisent une notation particulière appelée notation scientifique.

En notation scientifique, les nombres sont sous la forme d’un nombre décimal compris entre 0 et 10, multiplié par une puissance de 10.

Dans une écriture scientifique, un nombre est sous la forme :
a × 10n avec 1 ⩽ a < 10

0,000 002 884 851 deveint 2,884 × 10-6

L’intérêt réside dans les calculs. Ainsi, le produit des deux nombres ci-dessus devient :

1,304 × 1019 × 2,884 × 10-12 = 1,304 × 2,884 × 1019 × 10-12 = 3,76 × 107

13 000 × 105 = . . .

129 995 × 103 = . . .

0,000 000 02 = . . .

16 399 401 738 = . . .

6,125 × 105 × 107 = . . .

4,522 × 105 × 10-4 = . . .

1,29 × 103 × 9,237 × 108 = . . .

8,87 × 105 × 2 × 10-7 = . . .

1,6 × 105 × 5,02 × 107 × 1,92 × 10-15 = . . .

De nano à tera

Ce tableaux donne les préfixes usuels exprimant des puissance de 10.


Préfixe Symbole 10n Nom Écriture décimale Exemple
Tera T 1012 mille milliards 1 000 000 000 000 un disque dur de 2 To (2 TéraOctets)
Giga G109 un milliard 1 000 000 000 Un film de un 1 Go (un GigaOctet)
Méga M106 un million 1 000 000 Une image de un MégaOctet
Kilo K103 mille 1 000 un trajet de 1 Km (un kilomètre)
Hecto h102 cent 100 un tonneau d’un hectolitre (1 hL = 100 litres)
déca da101 dix 10 un décamétre (10 mètres), un décagone (10 côtés)
100 un 1 Unité
déci d10-1 un dixième 0,1 un décilitre (0,1 litre)
centi c10-2 un centième 0,01 un centimètre (0,01 mètre)
milli m10-3 un millième 0,001 un milliVolt (0,001 volt)
micro µ10-6 un millionième 0,000 001 un micromètre (µm) ou un micron
nano n10-9 un milliardième 0,000 000 001 nanotechnomogie (le très petit, l'atome)

Calcule la valeur de 103, de 106 puis de 10-4.

Compter le nombre de zéros. Quelles règles simples peut-on en déduire ?

Échec et mat

Le roi Belkib (Indes) promit une récompense à qui lui proposerait une distraction qui le satisferait.

Lorsque le sage Sissa, lui présenta le jeu d'échecs, le souverain, demanda à Sissa ce que celui-ci souhaitait en échange.

Sissa demanda au prince de déposer un grain de riz sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et de doubler ainsi la quantité de riz sur chacune des 64 cases de l’échiquier.

Le prince accorda immédiatement cette récompense sans se douter de ce qui allait suivre.

Pour pouvoir résoudre :

a : Combien de grains de riz en puissance de 2, faut-il pour totaliser 10 kg environ ?

b : Par combien, en puissance de 2, faut-il multiplier un nombre pour obtenir environ mille fois plus ?

c : Quelle quantité de riz (en kilogramme ou en tonne), le roi devra-t-il payer ?

d : La production mondiale de riz était de 700 millions de tonnes en 2010. À combien d'années de production mondiale de riz correspond le prix demandé par Sissa ?

Le mètre sur Terre

Durant la révolution française, on décida de définir une distance universelle, le mètre, égal à un dix-millionième de la distance qui sépare un pôle de l’équateur.

a : Combien y a-t-il de kilomètres entre le pôle nord et l’équateur ?

b : Quel est le diamètre de la terre ?

Vous avez un mess@ge...

La sonde Pionner a été lancé en 1972 par l’agence spatiale Américaine pour explorer la planète Jupiter. Actuellement, elle vogue à 13 milliards de kilomètres de la Terre.

La vitesse des signaux que la sonde émet est 3 X 105 km/s

Calculer le temps mis par les signaux pour parvenir à la Terre.

Chercheur d’or ?

1 m3 d’eau de mer contient 0.004 mg d’or. Le volume total d'eau de mer sur la terre est de 1,3 x 109 km3.

a : Combien y-a-t-il de m3 dans 1km3 ?

b : Combien faut-il de mg pour obtenir une tonne (1000 kg) ?

c : Quelle est la masse total d'or (en tonnes) que renferment les océans et les mers ?

Home cinéma

Ivan converti ses films sur DVD au format numérique .avi. Ses films, une fois converti, passent d'un poids de 3,2 Go à 700 Mo.

Ils stocke ses films sur un disque dur de 3To.

a : Par combien divise-t-il le poids de ses films ?

b : Combien peut-il en stocker sur son disque dur ?